도서 소개

살림Math 클래식 두 번째 책. 20세기 수학사에 한 획을 그은 수학자 힐베르트가 은퇴하기 전 대학에서 3년간 강의한 내용을 그의 제자인 슈테판 콘-포센이 정리하여 펴낸 것이다. 힐베르트가 어떤 문제에 흥미를 느꼈는지도 살펴볼 수 있다. 특히 힐베르트도 ‘각 나라의 경계를 겹치지 않고 칠하는 데 몇 개의 색이 필요할까?’를 묻는 사색문제를 관심 있게 다루었다는 것이 흥미롭다.

또한 이 책은 기하학의 직관적인 표현에 관한 것뿐 아니라 대수학과 운동학 등 전반의 분야에서 기하학적인 직관이 어떻게 유용한 아이디어로 전환될 수 있는지를 아주 간단하게 보여준다. 예를 들면 단위격자를 생각한 뒤 필요할 경우 약간의 수론을 덧붙여 힘들이지 않고 라이프니츠 급수 를 유도해 내거나 삼차원 및 고차원에서의 격자에 대한 절에서는 유명한 케플러 문제를 포함한 공 쌓기 문제를 다루는 식이다.

  출판사 리뷰

수학적 아이디어의 보고
수학을 직관으로 표현하는 방법을 다룬 진정한 걸작!

▶ 내용 소개

현대 기하 교수법의 기초를 닦은 『기하학과 상상력』
이 책은 힐베르트가 은퇴하기 전 대학에서 3년간 강의한 내용을 그의 제자인 슈테판 콘-포센이 정리하여 펴낸 것이다. 원제목은 『Anschauliche Geometrie』로 우리말로 직역한다면 ‘직관 기하학’정도일 것이나 영역판의 제목인 『Geometry and the Imagination』을 차용했다.
힐베르트가 직관주의에 반하여 형식주의를 주창한 수학자로 알려져 있지만 이 책에서 볼 수 있는 직관과 상상력을 중시하는 그의 태도를 보면 마냥 형식주의자로 단정 지을 수만은 없을 것 같다. 힐베르트는 이 책을 통해 눈으로 보고 직관적으로 이해할 수 있는 기하의 많은 분야들을 접하고 기하학을 공부하는 사람들이 좀 더 쉽게 기하학에 접근할 수 있기를 바랐다. 여러 사람의 노력으로 다양한 이미지가 추가되었으며 다소 복잡하거나 상상하기 힘든 입체도 투영도를 그려 제시함으로써 각종 공리와 기하학적인 가정을 머릿속으로 상상해야 하는 어려움을 덜어 주었다. 현대 기하학에서 도형이나 실제 물체를 투영하는 그림이 빠지지 않는 것은 이와 같은 힐베르트의 노력이 있었기 때문이다.
독일 수학계는 괴팅겐을 중심으로 힐베르트 시대에 정점을 찍고 나치즘이 팽배함과 동시에 몰락의 길을 걸었다. 『기하학과 상상력』의 서지정보에도 이 안타까운 역사의 흔적이 남아 있다. 힐베르트의 제자로 공저자로서 이 책의 집필에 참여한 슈테판 콘-포센의 경우다. 콘-포센은 유태인으로 당시 독일은 나치즘으로 인해 유태인에게 어떠한 권한도 남기지 않았으므로 출간할 당시에는 공저자로 이름을 올리지 못하였다가 영역판이 번역되면서 그의 사후에야 공저자로 인정을 받았다.

20세기 수학사에 한 획을 그은 수학자 힐베르트
20세기 전반의 수학은 독일 수학계의 업적이 전부라고 해도 과언이 아니다. 당시 수학계는 확립되지 않은 공리들을 정리하는 작업과 위상수학, 집합론 등이 자리를 잡고 있었는데 힐베르트는 이 모든 분야에 영향을 끼치며 수학 철학의 한 사조를 확립했다.
힐베르트가 전성기에 남긴 업적은 함수론과 물리분야에서다. 힐베르트는 적분방정식론을 연구하면서 무한차원 공간에 대한 이해를 넓혔다. 오늘날 힐베르트 공간이라는 이름은 물리학자나 수학자 모두 피해갈 수 없는 용어가 됐을 정도다. 특히 이 공간에서의 스펙트럴 분해 이론에 업적을 남기는데, 바로 이 이론이 1925년 하이젠베르크와 슈뢰딩거의 양자역학의 기반을 이루게 된다. 한편 수리물리학의 중요한 방법론인 변분법도 힐베르트가 대단히 심혈을 기울인 주제로, 이 책의 4장을 중심으로 그런 모습이 자주 엿보인다. 쿠란트(Courant)가 저서 ‘수리물리학의 방법론’을 쓰며 힐베르트의 강의와 논문에서 인용한 것이 많고, 수학 연구와 교육에 결정적인 영향을 끼쳤다며 힐베르트를 공저자로 내세웠을 정도였으니 그 중요도가 어느 정도였는지 짐작할 수 있을 것이다.
독일 수학계는 괴팅겐을 중심으로 힐베르트 시대에 정점을 찍었다. 하지만 힐베르트 자신은 말년에는 전쟁의 소용돌이에 휩쓸려 사랑하던 수학계가 무너지는 것을 지켜봐야 했다. 훌륭한 연구자, 저술가이자 강연자였던 이 위대한 수학자의 장례식에 참석할 수 있었던 동료 연구자는 많지 않았다.

힐베르트가 골똘히 고민한 문제들은 무엇이었을까
『기하학과 상상력』은 힐베르트가 어떤 문제에 흥미를 느꼈는지도 살펴볼 수 있다. 특히 힐베르트도 ‘각 나라의 경계를 겹치지 않고 칠하는 데 몇 개의 색이 필요할까?’를 묻는 사색문제를 관심 있게 다루었다는 것이 흥미롭다.
또한 이 책은 기하학의 직관적인 표현에 관한 것뿐 아니라 대수학과 운동학 등 전반의 분야에서 기하학적인 직관이 어떻게 유용한 아이디어로 전환될 수 있는지를 아주 간단하게 보여준다. 예를 들면 단위격자를 생각한 뒤 필요할 경

  작가 소개

저자 : 다비드 힐베르트
1862년 쾨니히스베르크(K?nigsberg)에서 태어났다. 그의 할아버지와 아버지는 모두 판사였다. 김나지움까지는 수학 이외의 과목에 흥미가 없어 그리 좋은 성적을 내지 못하다가 좀 더 개방적인 학교로 옮긴 후 공부에 흥미를 갖기 시작하여 수학에서 최우수 성적을 획득한다. 최초로 수학계에 이름을 알린 것은 26세 때인 1888년에 ‘고르단(Paul Gordan)의 문제’를 해결하면서부터다. 1895년부터 괴팅겐에 자리를 잡은 힐베르트는 대수적 정수론의 순수 수학에서 업적을 내기 시작하였다. 또한 그는 1900년 8월 8일 국제수학자대회에서 다가올 20세기에 수학계에서 해결해야 할 23개의 수학 문제들을 제시했는데, 힐베르트가 낸 이 문제들은 20세기 수학의 진행 방향에도 커다란 영향을 미쳤다. 1902년에는 『기하학의 기초Die Grundlagen der Geometrie』를 출판해 기하학의 공리적 기초를 마련했다. 혹자는 이런 의미에서 힐베르트를 ‘제2의 유클리드’라 부르기도 했다. 출간 이후 힐베르트에게는 곧 베를린 대학에서 임용 제안이 들어왔는데, 힐베르트는 폰 노이만(John von Neumann), 노르트하임(Lothar Nordheim) 등과 함께 양자역학의 수학적 공리화를 시도했으며, 1924년에는 그의 수제자인 쿠랑과 함께 『수리물리학의 방법Die Methoden der mathematischen Physik』이라는 20세기 수리물리학 분야의 고전을 출판하기도 했다. 이 책은 슈뢰딩거의 파동역학이 나오기 직전에 출판되어 과학자들이 파동역학에 나오는 난해한 수학적 방법을 쉽게 이해하게 해주어 현대물리학의 보급에도 결정적인 역할을 했다. 1912년 적분 방정식에 관한 연구를 종합한 책을 발간하였고 이후 물리학을 수학과 같이 공리적 체계 위에 세우려는 노력을 시작한다. 1915년 11월 아인슈타인의 일반상대성이론과 거의 같은 시기에 ‘물리학의 기초’라는 논문으로 같은 결론을 얻어냈다. 제1차 세계대전 후에는 브로베르(Brouwer)등이 주창한 직관주

저자 : 슈테판 콘-포센
슈테판은 유태인 가문에서 태어났다. 브레스라우 대학에서 수학하였고 1924년에 박사 학위를 받았다. 1929년 괴팅겐 대학에서 교수 임용 자격시험에 합격했다. 1930년에 그는 쾰른 대학의 교수로 임용되었으나 1933년 유태인이라는 이유로 나치에 의해 교수직을 박탈당하였다. 쾰른 대학에서의 3년간은 힐베르트의 강의를 바탕으로 한 『기하학과 상상력』 집필에 참여했으나 출간 당시에는 유태인 차별 등의 이유로 공저자로 이름을 올리지 못했다. 교수직을 잃은 뒤 스위스의 로카르노로 이주하였고 1934년에는 취리히에서 교사로 지내다가 같은 해 소련으로 이주하였다. 그의 영향 아래 레닌그라드와 모스크바에 기하학을 가르치는 학교가 세워져 러시아의 수학 연구에 큰 영향을 미쳤다. 그는 또한 소련 과학원 부설 스테콜로프 수학연구소의 연구원이기도 하였다. 1935년에는 레닌그라드 대학의 교수로 임용되었고 다음 해 수학연구소가 모스크바로 이전함에 따라 콘-포센도 거처를 옮겼다. 1936년 모스크바 대학에서도 교수로 임용되었으나 그해 폐렴으로 요절했다. 짧은 생애였지만 미분 기하학 등의 분야에서 영향력 있는 논문을 여러 편 남겼다.

  목차

서문 4
1장 가장 간단한 곡선과 곡면 11
1.1 평면곡선 13
1.2 원기둥, 원뿔, 원뿔곡선, 회전곡면 21
1.3 이차곡면 27
1.4 실을 이용한 타원면의 작도법과 동일초곡선 이차곡면들 36
1장 부록
1. 원뿔곡선의 발판점 작도 43
2. 원뿔곡선의 준선 46
3. 쌍곡면의 움직일 수 있는 막대 모형 49

2장 정칙 점체계 53
2.1 평면격자 55
2.2 수론에서의 평면격자 63
2.3 삼차원 이상에서의 격자 74
2.4 정칙 점체계로서의 결정 83
2.5 정칙 점체계와 불연속운동군 89
2.6 평면운동과 합성. 평면운동의 불연속군의 분류 93
2.7 무한 기본영역을 갖는 평면운동의 불연속군 100
2.8 평면운동의 결정학적군. 정칙 점체계 및 정칙 유향점체계.
평면을 합동인 영역으로 분할하기 108
2.9 결정 클래스, 공간의 운동군, 좌우 대칭을 갖는 군과 점체계 124
2.10 정다면체 134

3장 사영배치 139
3.1 평면배치에 관한 사전 관찰 143
3.2 (7￡)과 (8￡) 배치 146
3.3 (9￡) 배치 153
3.4 원근법, 가상의 원소, 평면에서의 쌍대성 165
3.5 공간에서의 가상의 원소와 쌍대성의 원리. 데자르그의 정리와 데자르그 배치 공백(10￡) 174
3.6 파스칼의 정리와 데자르그의 정리 비교 185
3.7 공간의 배치에 대한 예비 관찰 191
3.8 레예 배치 193

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