도서 소개

'개념부터 다시 시작하는 Reset! 수학' 시리즈는 고등학교 수학 교과 과정에 나오는 개념들을 알기 쉽게 풀이해 주는 '친절한 수학 개념 해설서'다. "개념과 원리를 알려 준다"는 책들이 대부분 기존의 문제집에서 개념과 원리 부분을 강화하는 수준에 그치는 데 비해, 이 시리즈는 말 그대로 '개념'과 '사고법'을 중점적으로 파고든다.

'문제를 푸는' 수학책이 아니라 '보고 읽으며 이해하는' 수학책이다. 상위권 학생들에게 맞춰 진행되는 학교와 학원의 수업을 따라가기 버거운 학생들, 난이도 높은 고등학교 수학을 배워야 하는 예비 고등학생들이 읽으면 수학의 기초 체력을 단련하기에 좋다.

'미적분' 편은 대부분의 학생들이 가장 어려워하는 개념인 미적분을 좀 더 쉽게 접근할 수 있도록 적분의 기본 개념을 먼저 설명하고 미분으로 나아가는 방식을 취한다. 기존의 설명 방식은 가르치는 쪽의 편의를 고려한 것일 뿐, 배우는 입장에서는 이러한 방식이 훨씬 이해하기 쉽기 때문이다. '미분은 복잡하게 변화하는 것을 한 차원 아래로 끌어내려 알기 쉬운 형태로 조사하는 것'이라든지 '적분은 영화나 TV의 영상 출력 방식과 비슷한 개념이다' 등 여러 비유를 통해 미적분 개념을 쉽게 설명하고자 했다.

계산의 복잡함과 불가피한 오차 등 적분의 딜레마 문제는 미분을 이용해 간단히 해결할 수 있다는 것도 보여 주고, 나아가 미분과 적분은 역연산의 관계가 성립된다는 것을 밝힘으로써 미분과 적분의 본질에 더욱 다가갈 수 있도록 했다.

  출판사 리뷰

개념을 확실히 잡아 주는 친절한 수학책

수학은 암기 과목이 아니다. 그럼에도 공식을 외고 문제를 더 많이 푸는 기계적인 방식으로 수학 성적을 올리는 데 가르치는 쪽과 배우는 쪽 모두가 혈안이 되어 있다. 기본 개념이 정립되어 있지 않은 상태에서는 공식의 암기나 심화 문제 풀이에 한계가 있음은 누구나 알고 있다. 그러나 짧은 시간에 교과 과정과 수능 시험이 요구하는 수준의 진도를 나가야 한다는 부담감에 조급함이 앞서는 것이다.
수학 수업은 물론이고 각종 문제집과 학습서마저도 상위권 학생들에 맞춰 나오다 보니, 거기에서 뒤처지는 학생들은 결국에는 이른바 '수포자'(수학 포기자)의 길을 걷게 된다. '국포자', '영포자', '과포자' 등의 비슷한 조어들에 비해 '수포자'가 더 널리 쓰이는 것은, 그만큼 난이도가 높고 한번 진도의 흐름을 놓치면 따라잡기가 도통 쉽지 않은 수학 과목의 특성이 반영되어 있다.
이처럼 학교나 학원의 수업 진도를 따라가기 버거운 학생들, 또 중학교 수학 과정을 마치고 고등학교의 심화된 수학을 준비하고 있는 예비 고등학생들에게는 수학의 기본 개념을 찬찬히, 그러면서도 확실히 다져 주는 '개념 중심의 수학책'이 필요하다. 『개념부터 다시 시작하는 Reset! 수학』 시리즈는 이러한 수학의 '개념'에 모든 것을 바쳤다.
"개념과 원리를 알려 준다"는 책들이 대부분 기존의 문제집에 개념과 원리 부분을 강화하는 수준인 데 비해, 이 시리즈는 말 그대로 '개념만' 중점적으로 파고든다. 많은 문제를 풀게 함으로써 개념을 이해시키는 것이 아니라 '사고하는 방법'에 초점을 맞춰 이야기보따리를 풀어 놓는 것이다. 즉 '문제를 푸는' 수학책이 아니라 '보고 읽으며 이해하는' 수학책이라 할 수 있다.
간간이 문제가 등장하기는 해도 개념 이해를 돕기 위해 기초적인 수준에서 고안된 것일 뿐, 현재의 고등학생들이 수시로 치르는 시험 문제와 같은 난이도는 전혀 아니다. 이 시리즈의 저자 역시 책에 등장하는 수식 중에 혹시 이해하기 어려운 것이 있다면 고민하지 말고 훌쩍 넘기라고 충고한다. '연습 문제 풀이' 같은 과정 없이 단순히 책을 읽는 것만으로도 '적어도 개념만큼은 확실히 잡았다'라는 결론을 내릴 수 있을 것이다. 이러한 의미에서 진정한 '수학 개념 책'이라 할 수 있다.

수학의 기초 체력 단련이 필요한 사람이 읽는 책

이러한 수학 교과의 개념을 중점적으로 다룬 책이 과연 필요할까 의문이 들 수도 있을 것이다. 수학 교과 과정에는 집합이나 방정식, 제곱근, 도형의 성질과 같이 중학교, 심지어는 초등학교에서부터 조금씩 단계적으로 배우게 되어 있는 단원들이 있다. 이러한 단원들은 고등학교 수학에 심화된 내용으로 나오더라도 학생들의 부담이 덜하다. 반면에 고등학교에 올라가서야 처음 접할 수 있는 개념들은 갑자기 높아진 난이도와 수능 시험에 나온다는 부담감에 학생들이 괴로워할 만한 단원들이다. 이 시리즈는 1권 미적분, 2권 확률과 통계, 3권 지수와 로그, 4권 허수와 복소수로 구성되어 있는데, '확률과 통계' 정도만 중학교 수학 시간에 '경우의 수' 수준의 기초적인 내용을 배울 뿐, 미적분이나 로그, 복소수 등 나머지 단원들은 모두 고등학교 과정에서 처음 접하는 분야다. 학생 개개인의 이해 수준 차이는 무시된 채 진도가 나가고 수업이 진행되는 사이 응용문제를 앞에 두고 어디서부터 손대야 하는지 모르는 학생들은 좌절할 수밖에 없다. 이들에게는 문제집을 거듭 푸는 것이 아니라, 다시 기본 개념부터 차근차근 정립하는 것만이 해법이다. 그래야 문제 의도를 파악하고 풀이 방향을 탐지하는 감각을 익힐 수 있는 것이다.
따라서 이 책은 학교와 학원의 진도를 따라가지 못하는 학생들에게 동력을 제공하고 '수포자'들에게는 다시 한 번 수학에 도전할 수 있는 기초를 마련해 줄 것이다. 또 고등학교 진학을 눈앞에 두고 있는 예비 고등학생이나 심화 수학 단원으로 넘어가는 단계에 있는 고등학교 1학년생들에게는 본 수업에 앞서 기초를 탄탄히 하는 선행 학습의 의미를 지닐 수 있을 것이다. 상위권 학생들에게는 응용문제를 푸는 중간 중간에 다시 기본 개념을 상기시켜 줄 수 있는 보조재로서 기능할 수도 있다.
또 문과 출신으로 대학에서 경제학이나 경영학을 공부해야 하는 대학 새내기들(수학 과목이 부담스러워 문과를 선택하는 경우가 많았을 이들은 파생금융상품의 일종인 옵션의 가격 결정 모델을 배우면서 고난도의 미분 방정식을 풀어야 한다), 그리고 어떤 이유에서든 고등학교 수학책을 다시 펼쳐야 하는 성인들에게도 부담스럽지 않은 난이도의 수학책으로 활용될 수 있을 것이다.

주요 내용

이 책은 미적분을 처음 배우며 어려워하는 이들에게 미적분 개념을 최대한 이해시키기 위해 방식상의 전환을 꾀했다. 고등학교 과정에서는 적분에 비해 미분 쪽이 '계산이 쉽다'는 이유로 미분을 먼저 가르치고 뒤에 적분을 가르치는데, 이 책에서는 적분부터 설명하고 미분으로 나아간다. 계산은 미분이 쉬울지 몰라도 직관적으로 이해하기 쉬운 쪽은 적분이기 때문이다. 즉 이 책은 가르치는 쪽의 편의보다는 배우는 입장을 우선적으로 고려했다.

- 적분의 사고방식으로 적분 개념 따라잡기
I부 맨 처음에서는 미분 공식과 적분 공식을 통해 미적분 계산을 먼저 해 본다. 이는 미적분 계산 자체는 그다지 어렵지 않음을 보여 주기 위함이다.
역사적으로 적분은 토지의 넓이를 재는 방법을 고민하는 과정에서 탄생했다. 토지의 형태가 직사각형이라면 '가로와 세로의 곱'으로 계산하면 되지만 대부분은 곡선으로 둘러싸인 도형이어서 넓이 계산이 어려웠다. 적분은 이렇게 직사각형이 아닌 들쭉날쭉한 모양의 도형을 자잘한 직사각형으로 나눈 뒤 그 직사각형 넓이를 모두 더하는 방식이다. 이러한 적분의 사고방식은 토지의 넓이뿐 아니라 더 넓은 영역으로 확장된다. 즉 가로세로의 곱으로 표현할 수 있는 '직사각형의 넓이 같은 형태의 양'이기만 하면 적분으로 계산이 가능한 것이다. 예를 들어, 자동차의 이동 거리는 단위 시간에 움직이는 속도가 늘 동일하지는 않기 때문에 곡선과도 같이 꾸준히 변화하는 양이다. 그런데 거리는 '시간과 속도의 곱'으로 나타낼 수 있는 양이다. 따라서 이동 거리 곡선을 직사각형으로 길쭉하게 잘라 넓이(즉 시간과 속도의 곱)를 구하고 이 직사각형들을 더하면 총거리를 구할 수 있는 것이다. I부에서는 이렇게 적분이 사용되는 양의 개념에 관해 상당한 지면을 할애해 설명한다.

- 적분의 딜레마를 해소해 주는 도우미 '미분'
II부에서는 적분의 딜레마부터 이야기한다. 곡선으로 둘러싸인 넓이를 구할 때 아주 작은 직사각형으로 잘게 나눈 뒤 그 직사각형의 넓이를 모두 더하는 방식은 직사각형의 영역에 들어가지 못한 곡선의 귀퉁이 부분을 넓이 계산에서 제외해 버리므로 오차가 있을 수밖에 없다. 즉 근삿값은 될 수 있어도 실제 값과는 차이가 나며, 직사각형을 작게 하면 할수록 오차는 줄어도 처리해야 하는 양이 많아 계산이 복잡해진다. 이때 미분을 이용해 적분을 계산하면 단숨에 계산의 복잡함을 뛰어넘을 수 있다. 한마디로 미분은 적분의 '도우미'인 셈이다.

- 미분은 변화하는 상태를 조사한다
III부에서는 미분에 대해 알아본다. '적분'이 변화하는 양을 모두 모아 계량화한 것이라면 '미분'은 변화하는 양이 얼마 동안 얼마나 변화하는지 그 상태를 조사하는 것이다. 따라서 미분은 '변화한 양/변화의 간격'으로 나타낼 수 있다. 이는 곧 변화의 간격을 x축으로 하고 변화한 양을 y축으로 하는 직선의 기울기가 된다. 이를 곡선에서 생각하면, 곡선 위 각 점에서의 접선의 기울기를 구하는 것이 곧 미분이다.
이어서 실제로 미분 계산을 해 보고, 미분식의 특성과 미분의 본질에 대해 이야기한다. 미분은 원래 식의 차수를 하나 낮춰 더 알기 쉽도록 만드는 것이다. 처음 그림을 배우는 사람이 얼굴을 그릴 때 짧은 직선으로 윤곽을 그려 가며 얼굴 형태를 잡는 것, 나무 조각을 만들 때 먼저 끌로 거칠게 대강의 형태를 만든 뒤 세밀하게 다듬는 순서를 밟는 등 여러 비유를 들며 미분의 방식을 설명한다.

- 미분과 적분은 진짜로 어떤 사이?
IV부에서는 미분과 적분의 관계를 살핀다. II부에서 미분을 이용하면 적분 계산이 간단해지는 것을 보았는데 여기에서는 그 이유를 알아본다. 그래서 '미적분학의 기본 정리'와 "미분하면 같아지는 것은 원래 식이 같다" 가 성립하는 이유를 추적해 본다. 그래서 (상수의 차이를 생각하지 않는 한) 적분한 것을 미분하면 원래대로 돌아가고, 미분한 것을 적분해도 원래대로 돌아가는, '미분과 적분은 역연산 관계'임을 밝힌다.
IV부의 21장에서는 미분방정식을 '맛보는' 수준으로 살펴보고 22장에서는 컴퓨터 시대에 미분과 적분의 세계가 여전히 유효하다는 것을 이야기한다.

*이다새는 도서출판 부키의 어학 학습 브랜드로 '이제 다시 새롭게' 배우는 기쁨이라는 뜻을 담고 있습니다.

넓이는 방식을 정해 재면 된다. 하지만 재는 방식을 아무렇게나 정하면 안 된다. 누구나 잴 수 있고 누구나 납득할 수 있는 방법으로 재야만 하는 것이다.
그런 점에서 정사각형이나 직사각형의 넓이를 재는 방법은 간단하다. 단위를 정하고 직사각형의 넓이를 (가로)×(세로)로 계산한 크기라고 정하기만 하면 된다. 또 직사각형의 넓이를 바탕으로 삼각형이나 사각형 또는 오각형의 넓이를 재는 방법도 정할 수 있다. 이렇게 하면 누구나 똑같이 잴 수 있고 그 결과에 아무도 이의를 제기하지 않으므로 불편한 점은 하나도 없다.
그런데 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 재는 방법은 그렇게 간단히 정할 수 없다. 이때는 직사각형과 달리 어느 부분이 가로나 세로에 해당하는지를 찾기 어렵기 때문이다. 또 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이는 기껏해야 원의 넓이밖에 모르는데 원의 넓이를 이용해서 계산하는 방법이 있을 것 같지도 않다.
그러면 대체 어떻게 해야 할까?


지구 위의 땅이 실제로 평평하다는 것과 마찬가지로 일반적으로 곡선은 부분적으로 보면 직선이다.
이것은 곡선을 직선으로 어림한다는 말이 아니라 곡선을 점점 확대하다 보면 곡선을 직선이라고 생각할 수 있는 것이 된다는 뜻이다. 즉 범위를 점점 작게 해 가면 곡선의 구부러진 상태가 보이지 않게 되고 오로지 직선의 기울기만 남는다. 이렇게 해서 구부러짐이 있는 선인 곡선은 미분에 의해 기울기가 있는 직선으로 분해되고 차수 하나만큼 단순한 것으로 환원된다.
그리고 이 직선의 기울기에 관한 정보를 모으면 원래 곡선을 복원할 수 있게 된다. 물론 이 직선의 기울기는 한 점에서의 정보이고, 이러한 정보들을 모아 원래 곡선을 복원한다는 것은 곧 적분한다는 뜻이다.


다음과 같이 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하는 방법을 3가지 생각해 보라.

① 한 변의 길이가 1cm2인 정사각형으로 도형을 덮어서 도형 속에 완전히 들어간 정사각형의 넓이는 1cm2, 도형 밖으로 조금 삐져나온 정사각형의 넓이는 0.5cm2로 계산한다.

② 폭을 1cm로 하여 세로로 길게 자르고 위아래로 남은 귀퉁이 부분을 잘라 내 길쭉한 직사각형으로 만든 뒤 그 직사각형의 넓이를 계산해 전부 합친다.

③ 무게를 재서 한 변의 길이가 1cm인 정사각형의 무게와 비교해 넓이를 계산한다.(햄 같은 음식을 떠올려 보라.) 예컨대 도형의 무게가 80g이고 정사각형의 무게가 2g이라고 치면 80g은 2g의 40배이므로 넓이도 40배인 40cm2다.

방법 1은 초등학교 교과서에도 실려 있을 만큼 알기 쉬운 방법이다. 그러나 정사각형의 수를 일일이 세어야 하는 번거로움이 있고 계산 방법을 더욱 발전시켜 나가다 보면 도중에서 막힐 수밖에 없으므로 여기에서는 이 이상 생각하지 않기로 한다. 방법 3은 어떤 의미에서는 가장 실행하기 쉬운 방법이지만 무게를 재지 못하면 아무런 소용이 없고, 지면 위의 넓이를 구할 때와 같은 경우에는 속수무책이므로 이 방법도 더 이상 생각하지 않기로 한다. 그러면 방법 2로 넓이를 구하는 길을 생각해 보자. 이것을 '길쭉하게 잘라 나누는 방법'이라고 부르기로 한다.
방법 2로 넓이를 재려다 보면 한 가지 문제가 생긴다. 길쭉한 직사각형으로 만들 때 위아래로 남는 귀퉁이 부분을 잘라 내야 하는데, 그렇게 하면 당연히 잘라 낸 부분만큼 실제 넓이보다 작아진다. 그렇다고 "조금 작아져도 상관없어!"라며 타협하고 싶지는 않다. 그러면 이 문제를 어떻게 해결해야 할까?

  작가 소개

저자 : 후카가와 야스히사
1952년 일본 아와지에서 태어났다. 교토대 이학부 수학과와 문학부 사회학과를 졸업했으며 동 대학 대학원에서 사회학 연구 석사 과정을 수료했다. 지은 책으로는 『두뇌의 수적 재구축』 『퀴즈로 이해하는 중학 수학』 『퀴즈로 이해하는 고교 수학』 『방정식에 의존하지 않기』 등이 있다.

  목차

추천사·미적분, 더 이상 어렵지 않다(김준교)
머리말·미적분은 특히 개념 이해가 중요하다

I 적분부터 이해하자

01 미분과 적분을 처음 만나다
02 미적분이란 무엇을 하는 걸까?
03 적분은 넓이를 구하는 것이다?
04 세상은 울퉁불퉁하기 일쑤다
05 적분의 특기는 이러한 양을 다루는 방법에 있다
06 적분식을 찬찬히 보면 알 수 있다
07 적분은 디지털 세상에 걸맞은 개념이다
08 적분은 의외로 쉽다

II 미분은 적분의 도우미

09 적분의 딜레마
10 얼마나 복잡한 계산이 실제로 해 보자
11 계산에 목숨을 걸었던 기나긴 역사
12 미분은 해결사!
13 미적분의 역사를 돌이켜 보자

III 미분을 다시 생각하다

14 미분이란 무엇인가
15 미분과 직선의 기울기
16 미분식으로 생각해 보자
17 미분은 변화하는 것을 알기 쉽게 만드는 것

IV 미분과 적분의 관계

18 미분을 적분에 이용한다는 의미는?
19 적분한 것을 미분하면 왜 원래대로 돌아갈까?
20 적분보다 미분이 인간답다?
21 미분방정식 맛보기
22 컴퓨터 시대의 미분과 적분

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